Benford

Nehmen wir an, Sie würden die Bytegröße jeder einzelnen Datei ihres Startlaufwerks auf diverse Zettel notieren. Das wären dann so Zahlen wie

– und davon ganz, ganz viele. Wenn Sie nun von allen aufgeschriebenen Zahlen nur die Anfangsziffer betrachteten: Wieviel Prozent der aufgeschriebenen Zahlen würde wohl mit der Ziffer 1 beginnen, wieviel mit der Ziffer 2, der Ziffer 3 usw.?

Nach dem gesunden Menschenverstand sollte man meinen, dass die Verteilung, mit geringen Abweichungen, einigermaßen gleichmäßig ist, dass also jede der Ziffern von 1 bis 9 jeweils bei ungefähr 11,1% der Zahlen als Anfangsziffer vorkommt.

Selbstversuch

Dem ist nicht so – noch nicht einmal annähernd. Probieren Sie es aus: Speichern Sie das Script von Rich Morin, das nichts anderes macht, als die führenden Ziffern aller Dateigrößenangaben Ihres Startlaufwerks zu sammeln und auszuwerten, mit einem Texteditor unter dem Namen fdf in Ihren Dokumente-Ordner (falls Sie sich ein eigenes bin-Verzeichnis angelegt haben, können Sie es natürlich auch dorthin speichern – aber dann muss ich Ihnen wahrscheinlich ohnehin nicht sagen, was Sie tun müssen).

Öffnen Sie das Terminal*, tippen Sie cd ~/Dokumente und drücken Sie anschließend die Returntaste. Mit chmod u+x fdf und Returntaste machen Sie das Script ausführbar. Nun können Sie es mit sudo fdf, Returntaste und anschließender Eingabe Ihres Administratorpassworts aufrufen.

Nach einiger Zeit, in der das Script die Anfangsziffern sammelt und auswertet, erhalten Sie das Ergebnis. Jede Wette, dass es ungefähr so aussieht wie dieses von meinem Startlaufwerk, auf dem sich 835.980 Dateien befinden?

In der ersten Spalte der Tabelle (d) steht die untersuchte Anfangsziffer, in der zweiten (pred) die nach Benford’s Law vorausgesagte und in der dritten (data) die tatsächliche Häufigkeit des Auftretens als erste Ziffer bei allen untersuchten Zahlen in Prozentwerten. In der vierten Spalte wird die ganze Sache mittels Ascii-Diagramm noch ein wenig anschaulicher gemacht. Die 1 tritt als Anfangsziffer bei den Dateigrößen auf meiner Start-Festplatte also ungefähr zehn Mal häufiger auf als die 9. Erstaunlich, oder?

Buchhaltungsfrisierer aufgepasst!

Warum bei beliebigen Zahlenmengen (z. B. den Einwohnerzahlen deutscher Städte, den Längen aller Flüsse der Welt, den Rebenertragsmengen der deutschen Weinstraße des Jahres 2004 – oder eben den Dateigrößen Ihres Startlaufwerks) die Anfangsziffern-Häufigkeit mit ansteigendem Ziffernwert abnimmt, weiß man noch nicht genau. Es gibt aber mittlerweile Buchhaltungsprüfprogramme, die sich genau diese Eigenschaft der Verteilungshäufigkeit zu nutze machen. Trägt jemand nämlich frei erfundene Zahlen ein, wird er Benford’s Law mit ziemlicher Sicherheit nicht beachten (noch nicht, muss man wohl sagen). Man muss also nur nach Abweichungen von der natürlichen Häufigkeitsverteilung suchen und kommt dadurch Fälschern sehr leicht auf die Spur. (Siehe auch Ziffernanalyse in der Fälschungsaufspürung, PDF-Datei)

Doppelentdeckung

Der Physiker Frank Benford hat diese ungleichmäßige Anfangsziffern-Verteilung 1938 publiziert, nachdem ihm aufgefallen war, dass in seinen Logarithmentafeln die vorderen Seiten, dort wo die Zahlen mit niedriger Anfangsziffer stehen, viel abgegriffener waren als die hinteren. Er stellte daraufhin die These auf, dass es auf der Welt mehr Zahlen mit niedriger als mit hoher Anfangsziffer gibt. Allerdings war ihm nur etwas aufgefallen, was vom Mathematiker Simon Newcomb bereits viel früher entdeckt und schon im Jahr 1881 publiziert wurde – aber gleich darauf wieder in Vergessenheit geriet. Um Newcombs Anteil an dieser Entdeckung zu würdigen, spricht man deshalb seit einiger Zeit auch vom Newcomb-Benford’s Law.

*) Bitte benutzen Sie das Terminal und das oben verlinkte Script nur, wenn Sie Unix-Grundkenntnisse haben und wissen, was Sie tun. Für Fehlbedienungen Ihrerseits und eventuell daraus entstehende Datenverluste übernehme ich keinerlei Verantwortung oder gar Haftung.